概率公式

事件符号

Ω为样本空间
∅为空集
A、B为事件
\(\overline{A}\)为A的逆事件

和事件

A∪B=B∪A
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A∪A=A
A∪Ω=Ω
A∪∅=A
如果A⊆B,则A∪B=B

积事件

A∩B=B∩A
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
A∩A=A
A∩Ω=A
A∩∅=∅
如果A⊆B,则A∩B=A

差事件

A-A=∅
A-∅=A
A-Ω=∅
A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)
A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
A∩(B-A)=∅
A∪(B-A)=A∪B

逆事件

\(\overline{\overline{A}}\)=A

\(\overline{A\cup B}= \overline{A}\cap \overline{B}\)

\(\overline{A\cap B}= \overline{A}\cup \overline{B}\)

\(A-B=A\cap \overline{B}=A-(A\cap B)\)

\(A\cup (\overline{A}\cap B)=A\cup B\)

\(A\cap (\overline{A}\cup B)=A\cap B\)

概率符号

P(A)=p    事件A的概率为数值p

P(B|A)    事件A发生的条件下事件B的条件概率

概率基本公式

P(∅)=0
P(Ω)=1
0≤P(A)≤1
\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B⊆A时,P(A-B)=P(A)-P(B)

条件概率

\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\),其中P(A)>0
如果P(AB)=P(A)P(B),则P(A)与P(B)相互独立,即P(B|A)=P(B)

加法公式

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)

乘法公式

设P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
设\(P(A_{1}A_{2}…A_{n-1})>0\),则
\(P(A_{1}A_{2}…A_{n-1})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})…P(A_{n}|A_{1}A_{2}…A_{n-1})\)

全概率公式

完全事件组    \(B_{1},B_{2},…,B_{n}\)俩俩互斥,且\(\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}=\Omega \)
设\(B_{1},B_{2},…,B_{n}\)为完全事件组,且\(P(B_{i})>0\),则
\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})\)

贝叶斯公式

设\(B_{1},B_{2},…,B_{n}\)为完全事件组,\(P(B_{i})>0\),且P(A)>0,则
\(P(B_{k}|A)=\frac{P(B_{k})P(A|B_{k})}{P(A)}\)

伯努利二项概率公式

伯努利概型    同一个实验重复作n次,每次只有俩种可能。
\(P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)